题目内容
【题目】如图四棱柱
中，
，
，
，M为
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）若四边形是菱形，且面
面
，
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中点N，连接
，
，可证四边形
是平行四边形，可得
，进一步可证
平面
；
（2）证明
，
，
两两垂直后，以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
，利用平面的法向量可求得结果.
（1）取的中点N，连接，，
∵M为
的中点，∴
且
又
，
，所以
且
，
所以四边形是平行四边形，
从而，又
平面，
平面，
所以平面.
（2）取
的中点P，连接，
，
∵四边形为菱形，又
，易知
.
又面
面
，面
面
，
∴
平面，
故，，两两垂直
以A为原点，
，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），不妨设
.
则
，
，
，，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
由
，得
，
可得平面的一个法向量
，
设平面
的法向量为
，
由
，得
，
可得平面的一个法向量
.
∴
所以二面角
的余弦值为.
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