Question

10．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AC=BC=$\frac{1}{2}A{A_1}$，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD．
（Ⅰ）证明：DC₁⊥BC；
（Ⅱ）设AA₁=2，A₁B₁的中点为P，求点P到平面BDC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）由题目条件结合勾股定理，即可证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，代入运用公式进行计算即可得出答案．

解答 （1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．
∵D为AA₁的中点，∴DC=DC₁．
又$AC=\frac{1}{2}A{A_1}$，可得$D{C_1}^2+D{C^2}=C{C_1}^2$，∴DC₁⊥DC．
而DC₁⊥BD，DC∩BD=D，∴DC₁⊥平面BCD．
∵BC?平面BCD，∴DC₁⊥BC．…（4分）
（2）解：由（1）知BC⊥DC₁，且BC⊥CC₁，则BC⊥平面ACC₁A₁，
∴CA，CB，CC₁两两垂直．
以C为坐标原点，$\overrightarrow{CA}$的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．
由题意知，$B（0，1，0），D（1，0，1），{C_1}（0，0，2），{B_1}（0，1，2），P（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，2）$，．
则$\overrightarrow{BD}=（1，-1，1）$，$\overrightarrow{D{C_1}}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{P{C_1}}=（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，0）$．
设$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$是平面BDC₁的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{C_1}}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\-x+z=0\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow{m}=（1，2，1）$．
设点P到平面BDC₁的距离为d，
则$d=|\frac{{\overrightarrow{P{C_1}}•\overrightarrow{m}}}{{|\overrightarrow{m}|}}|=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．…12分

点评 本题考查线线垂直的证明，考查点面距离的计算，属于中档题．