题目内容

在直角坐标系xOy中，椭圆C1：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，F2也是抛物线C2：y2＝4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|＝．

(Ⅰ)求C1的方程；

(Ⅱ)平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若，求直线l的方程．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)由C2：知F2(1，0)．

　　设M，点M在C2上，因为，所以，得，

　　M在C1上，且椭圆C1的半焦距，于是

　　　消去并整理得，

　　解得不合题意，舍去)

　　故椭圆C1的方程为．

　　(Ⅱ)由知四边形是平行四边形，其中心为原点O，

　　因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，

　　故l的斜率．

　　故直线l的方程为．

　　由消去并化简得，

　　设，

　　∴．

　　因为⊥，所以，

　　

　　．

　　所以，

　　此时，

　　故所求直线l的方程为，或．


提示：

　　向量与解析几何的结合是近几年高考的一个热点，要予以关注

　　本题主要考查直线与椭圆、抛物线的位置关系的有关知识，及导数知识的应用，以及分析问题与解决问题的能力．


练习册系列答案
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在直角坐标系xOy中，椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足
MN
=
MF1
+
MF2
，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若
OA
•
OB
=0，求直线l的方程．
在直角坐标系xOy中，已知点P（2cosx+1，2cos2x+2）和点Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
与
OQ
垂直，求x的值．
精英家教网如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OA在第一象限，且与x轴的正半轴成定角60°，动点P在射线OA上运动，动点Q在y轴的正半轴上运动，△POQ的面积为2
3
．
（1）求线段PQ中点M的轨迹C的方程；
（2）R1，R2是曲线C上的动点，R1，R2到y轴的距离之和为1，设u为R1，R2到x轴的距离之积．问：是否存在最大的常数m，使u≥m恒成立？若存在，求出这个m的值；若不存在，请说明理由．
在直角坐标系xOy中，已知圆M的方程为x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α为参数），直线l的参数方程为
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t为参数）
（I）求圆M的圆心的轨迹C的参数方程，并说明它表示什么曲线；
（II）求直线l被轨迹C截得的最大弦长．
在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左右两个焦分别为F1，F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），是否存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l 的对称点落在椭圆C上，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

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