Question

2．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_{\frac{1}{2}}}（x+1），\;x∈[0，1）\\ 1-|x-3|，\;x∈[1，+∞）.\end{array}$，则关于x的函数F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$的所有零点之和为（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$-1
• C． 1-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． 1-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据分段函数的解析式和奇函数的对称性作出函数f（x）在R上的图象和y=$\frac{1}{2}$的图象，利用数形结合的方法求解即可．

解答 解：由题意作出函数f（x）在R上的图象和y=$\frac{1}{2}$的图象如下，
，
由图象可知函数$F（x）=f（x）-\frac{1}{2}$共有5个零点，
其中最左边两个零点x₁+x₂=-6，
最右边两个零点x₄+x₅=6，
中间一个零点x₃是方程${log_2}（1-x）=\frac{1}{2}$的根，
解得${x_3}=1-\sqrt{2}$，
故所有零点之和为x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=$1-\sqrt{2}$；
故选D．

点评 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．