Question

【题目】已知函数（）．　

（Ⅰ）试判断函数的零点个数；

（Ⅱ）若函数在上为增函数，求整数的最大值.

（可能要用的数据： ， ， ）.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）6

【解析】试题分析: （1）对函数求导,由在恒成立,则在上为增函数，由， 可判断出函数有唯一零点; （2）对函数求导,分离参变量, 在上恒成立，构造新函数求导,由（1）可知,a小于等于在区间上的最小值,根据函数的单调性,求得函数最小值的取值范围,即可取得整数a的最大值.

试题解析:解：（Ⅰ） 在上为增函数，

且，故在上为增函数，

又， ，

则函数在上有唯一零点.

（Ⅱ）在上恒成立，

当时显然成立,

当时，可得在上恒成立，

令，则， ，

，

由（Ⅰ）可知： 在上为增函数，故在上有唯一零点，

则在区间上为减函数，

在区间上为增函数，

故时， 有最小值， .

又，

，

则，

有，

所以， ，

令，则最小值

，

因，则的最小值大约在之间，

故整数的最大值为6.