Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．

（I）求的解析式及单调递减区间；

（II）若存在 ，使函数成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（I）首先求得函数定义域与，然后利用导数的几何意义求得的值，从而根据求得函数的单调递减区间；（II）首先将问题转化为，然后求得，并求得其单调区间，从而求得其最小值，进而求得的范围．

（I）由及得函数的定义域为

由题意 解得

故， 此时，

由得

所以函数的单调递减区间是

（II）因为，

由已知，若存在使函数成立，

则只需满足当时，即可．

又，

则，

若，则在上恒成立，

所以在上单调递增，

，

∴，又∵，∴．

若，则在上单调递减，在上单调递增，

所以 在 上的最小值为，

又 综上所述， 的取值范围