Question

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W.

(1)求W的方程；

(2)若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值.

Answer 1

解法一：（1）由|PM|-|PN|=知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=.又半焦距c=2,故虚半轴长b=.?

所以W的方程为,x≥2.?

（2）设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).?

当AB⊥x轴时，x₁=x₂,y₁=-y₂.?

从而=x₁x₂+y₁y₂=x₁²-y₁²=2.?

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m.与W的方程联立，消去y得

（1-k²）x²-2kmx-m²-2=0.?

故x₁+x₂=,x₁x₂=，所以?

=x₁x₂+y₁y₂?

=x₁x₂+(kx₁+m)(kx₂+m)?

=(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²?

?

.?

又因为x₁x₂＞0，所以k²-1＞0,从而.?

综上，当AB⊥x轴时，取得最小值2.

解法二：（1）同解法一.?

（2）设A，B的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),则?

x_i²-y _i²=(x _i+y _i)(x _i-y _i)=2(i=1,2).?

令s _i=x_i+y_it _i=x _i-y_i,?

则s_it _i=2,且s_i＞0,t_i＞0(i=1,2),所以?

=x₁x₂+y₁y₂?

=(s₁+t₁)(s₂+t₂)+(s₁-t₁)(s₂-t₂)?

=s₁s₂+t₁t₂≥=2,?

当且仅当s₁s₂=t₁t₂,即时“=”成立.所以的最小值是2.