题目内容
如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面和侧棱长都等于2，平面A1ACC1 AA1C1C⊥ABCD，∠A1AC=60°．点O为底面对角线AC与BD的交点．
（1）证明：A1O⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-A1A-C的平面角的正切值．
解：（1）证明：由已知得 AB=BC=2，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=2．
又O为AC的中点，故 OA=1，△A1OA中，由余弦定理可得 A1O2=3，∴A1O2+AO2=A1A2，
∴A1O⊥AO．又因平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD．
（2）因底面ABCD为菱形，则 BD⊥AC，又 BD⊥A1O，则BD⊥面C1C．过点O 作OE⊥AA1 ，
则AA1⊥DE，∠DEO即为二面角D-A1A-C的平面角．OD=
=
，
Rt△AEO中，EO=AO•sin∠EAO=
．
在Rt△DEO中，tan∠DEO=
=2，故二面角D-A1A-C的平面角的正切值等于 2．
分析：（1）证明△ABC为等边三角形，由余弦定理可得 A1O2=3，由勾股定理可得A1O⊥AO，再由面AA1C1C⊥平面ABCD，得到 A1O⊥平面ABCD．
（2）过点O 作OE⊥AA1，∠DEO即为二面角D-A1A-C的平面角勾股定理求的OD，Rt△AEO中，利用边角关系求得 EO，由tan∠DEO= 求得结果．
点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求二面角的平面角的正切值，找出二面角的平面角是解题的难点．
又O为AC的中点，故 OA=1，△A1OA中，由余弦定理可得 A1O2=3，∴A1O2+AO2=A1A2，
∴A1O⊥AO．又因平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD．
（2）因底面ABCD为菱形，则 BD⊥AC，又 BD⊥A1O，则BD⊥面C1C．过点O 作OE⊥AA1 ，
则AA1⊥DE，∠DEO即为二面角D-A1A-C的平面角．OD=
=，Rt△AEO中，EO=AO•sin∠EAO=
．在Rt△DEO中，tan∠DEO=
=2，故二面角D-A1A-C的平面角的正切值等于 2．分析：（1）证明△ABC为等边三角形，由余弦定理可得 A1O2=3，由勾股定理可得A1O⊥AO，再由面AA1C1C⊥平面ABCD，得到 A1O⊥平面ABCD．
（2）过点O 作OE⊥AA1，∠DEO即为二面角D-A1A-C的平面角勾股定理求的OD，Rt△AEO中，利用边角关系求得 EO，由tan∠DEO=
求得结果．点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求二面角的平面角的正切值，找出二面角的平面角是解题的难点．
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