Question

已知椭圆C的离心率e=

3

2

，长轴的左右两个端点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）；
（1）求椭圆C的方程；
（2）点M在该椭圆上，且

MF1

•

MF2

=0，求点M到y轴的距离；
（3）过点（1，0）且斜率为1的直线与椭圆交于P，Q两点，求△OPQ的面积．

Answer 1

（1）根据题意可知e=

c

a

=

3

2

，a=2
∵a²=b²+c²=4
^∴b2=1
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1
（2）设点M（x₁，y₁）在双曲线上
则y²=1-

x2

4

由椭圆

x2

4

+y2=1
知F₁（

3

，0），F₂（-

3

，0）
∴

MF1

•

MF2

=x₁²-3+y₁²=0
∴x₁²=

8

3

∴点M到y轴的距离为

2 6

3

．
（3）由题意知

x2+4y2=4 y=x-1

4x2+5y2-20=0 y=2(x-1)

，
解方程组得交点p（0，-1），P（

8

5

，

3

5

），
∴S_△OPQ=

1

2

（1×1+1×

3

5

）=

4

5

．