Question

等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图1）．将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结、 （如图2）．

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）详见解析；（2）存在，且.

解析试题分析：（1）这是一个证明题，先用利用余弦定理在求出的长度，结合勾股定理证明，从而在折叠后对应地有，然后利用平面平面，结合平面与平面垂直的性质定理证明平面；（2）方法1是利用（1）中的提示条件说明平面，
然后再过点作，便可以得到平面，从而为直线与平面所成的角，进而围绕的长度进行计算；方法2是利用空间向量法，先假设点的坐标，利用（1）中的提示条件说明平面，将视为平面的一个法向量，然后利用确定点的坐标，进而计算的长度.
试题解析：证明：（1）因为等边△的边长为3，且，
所以，．
在△中，，
由余弦定理得．
因为，所以．
折叠后有．                                2分
因为二面角是直二面角，所以平面平面．           3分
又平面平面，平面，，
所以平面．                               4分
（2）解法1：假设在线段上存在点，使直线与平面所成的角为．
如图，作于点，连结、．      5分

由（1）有平面，而平面，
所以．                   6分
又