题目内容

已知向量
a
=(sinx，1)，
b
=(sinx，
3
2
cosx)
（1）当x=
π
3
时，求
a
与
b
的夹角θ的余弦值；
（2）若x∈[
π
3
，
π
2
]，求函数f(x)=
a
•
b
的最大值和最小值．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式、以及两个向量的夹角公式求得cosθ的值．
（2）利用两个向量的数量积公式求得f（x）=-(cosx-
3
4
)2+
25
16
，再利用二次函数的性质求得函数f(x)=
a
•
b
的最大值和最小值．
解答：解：（1）当x=
π
3
时，由 两个向量夹角公式可得
cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
(
3
2
，1)•(
3
2
，
3
4
)
3
4
+1
3
4
+
9
16
=
3
4
+
3
4
7
3
8
=
4
3
7
．
（2）f(x)=
a
•
b
=-(cosx-
3
4
)2+
25
16
，又x∈[
π
6
，
π
2
]，则cosx∈[0，
3
2
]，
故当cosx=0时，有f（x）min=1．  当cosx=
3
4
时，有f(x)max=
25
16
．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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