Question

已知点F为抛物线C：y²=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．

（Ⅰ）求直线PF的方程；

（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；

（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．

Answer 1

 解：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），

于是直线PF的斜率为，

所以直线PF的方程为，即为mx+2y﹣m=0．（3分）

（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），

由得m²x²﹣（2m²+16）x+m²=0，

所以，x₁x₂=1．

于是．

点D到直线mx+2y﹣m=0的距离，

所以．

因为m∈R且m≠0，于是S＞4，

所以△DAB的面积S范围是（4，+∞）．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x₁，﹣y₁）=λ（x₂﹣1，y₂），（﹣1﹣x₁，m﹣y₁）

=μ（x₂+1，y₂﹣m），

于是，（x₂≠±1）．

所以．

所以λ+μ为定值0．（14分）