Question

（2012•上海）函数y=log2x+

4

log2x

(x∈[2，4])的最大值为

5

．

Answer 1

分析：利用换元法，设t=log₂x，则t∈[1，2]，将问题转化为求函数y=t+

4

t

在[1，2]上的最大值问题，利用导数证明此函数为减函数，利用单调性求最值即可

解答：解：设t=log₂x，∵x∈[2，4]，∴t∈[1，2]
∵y=t+

4

t

的导函数y′=1-

4

t2

＜0  t∈[1，2]
∴y=t+

4

t

在[1，2]上为减函数，
∴y=t+

4

t

的最大值为1+

4

1

=5
∴y=log2x+

4

log2x

(x∈[2，4])的最大值为5
故答案为 5

点评：本题主要考查了复合函数的最值的求法，换元法求函数的值域，利用导数求函数在闭区间上的最值问题的解法，转化化归的思想方法