Question

函数f（x）=2^2x-2^x+1+2的定义域为M，值域为[1，2]，给出下列结论：①M=[1，2]；  ②M=（-∞，1]；  ③M⊆（-∞，1]；  ④M?[-2，1]；  ⑤1∈M；  ⑥0∈M．其中一定成立的结论的序号是

③⑤⑥

．

Answer 1

分析：可先研究值域为[1，2]时函数的定义域，再研究使得值域为[1，2]的函数的最小的自变量的取值集合，研究函数值为1，2时对应的自变量的取值，由此即可判断出正确结论的序号

解答：解：由于f（x）=2^2x-2^x+1+2=（2^x-1）²+1∈[1，2]，
∴2^x-1∈[-1，1]，即2^x∈[0，2]
∴x∈（-∞，1]即函数f（x）=2^2x-2^x+1+2的定义域（-∞，1]；  
当函数的最小值为1时，仅有x=0，故 ⑥0∈M 正确，
当函数值为2时，仅有x=1满足，故⑤1∈M正确
又必有M⊆（-∞，1]；  故③正确
当M=[0，1]时，此时函数的值域是[1，2]，故④M?[-2，1]与②M=（-∞，1]不一定正确；  
当x=2时，函数值为10，故 ①M=[1，2]不正确  
综上，一定正确的结论的序号是③⑤⑥
故答案为③⑤⑥

点评：本小题主要考查函数的定义域及其求法、元素与集合关系的判断、集合的包含关系判断及应用等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题