Question

已知函数f（x）=2^2x-1-2^x-4，
（1）求f（x）的零点；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）把2^x看成一个变量，把函数解析式变形关于 2^x 的二次函数形式，进行因式分解，
令 f（x）=0，解出2^x，即可得到x值，即函数的零点．
（2）把2^x看成一个变量，把函数f（x）的解析式进行配方，利用二次函数的性质求函数的值域．

解答：解：（1））∵f（x）=2^2x-1-2^x-4=

1

2

•2^2x-2^x-4=

1

2

×（2^2x-2•2^x-8）=

1

2

•（2^x+2）•（2^x-4）
令 f（x）=0，2^x=4，x=2，故函数的零点是 2．
（2） f（x）=

1

2

×（2^2x-2•2^x-8）=

1

2

（（2^x-1）²-9）≥-

9

2

，
∴函数f（x）的值域是：[-

9

2

，+∞)．

点评：本题考查函数零点的概念和求法，求函数的值域，体现了换元的数学思想．