Question

已知函数f（x）=mx-lnx-3（m∈R）．讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，存在x∈（0，+∞）使f（x）≤nx-4有解，求实数n的取值范围；
（2）当0＜a＜b＜4且b≠e时，试比较

1-lna

1-lnb

 与 

a

b

的大小．

Answer 1

（1）f′(x)=m-

1

x

=

mx-1

x

 (x＞0)
则f'（1）=m-1=0，∴m=1，∴f（x）=x-lnx-3
由题意知x-ln3-3≤nx-4在x∈（0，+∞）有解
∴n≥1-

lnx

x

+

1

x

有解，
令g(x)=1-

lnx

x

+

1

x

，即n≥g（x）_min，g′(x)=-

2-lnx

x2

则函数f（x）在区间（0，e²）上单调递减，在区间（e²，+∞）上单调递增．
∴g(x)min=g(e2)=1-

2

e2

+

1

e2

=1-

1

e2

∴n≥1-

1

e2

（2）由 （1）知g(x)=1+

1-lnx

x

在 （0，4）上是减函数
∵0＜a＜b＜4，∴g（a）＞g（b）
∴

1-lna

a

＞

1-lnb

b

，∴b（1-lna）＞a（1-lnb）
当0＜b＜e时，1-lnb＞0，∴

1-lna

1-lnb

＞

a

b

；
当e＜b＜4时，1-lnb＜0，∴

1-lna

1-lnb

＜

a

b

．