Question

三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3．
（1）求证AB⊥BC；
（2）如果AB=BC=2，求AC与侧面PBC所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AC中点O，连接PO、BO．推出PO⊥AC，利用侧面PAC⊥底面ABC，推出PO⊥底面ABC，说明△ABC为直角三角形，从而证明AB⊥BC
（2）取BC的中点为M，连接OM，PM，所以有OM，AO，PO，证明平面POM⊥平面PBC，取PM的中点N，连接ON，NC
证明ON⊥平面PBC，说明∠ONC即为AC与平面PBC所成的角．通过，推得AC与平面PBC所成的角为．
解答：解：（1）证明：取AC中点O，连接PO、BO．
∵PA=PC∴PO⊥AC
又∵侧面PAC⊥底面ABC
∴PO⊥底面ABC
又PA=PB=PC∴AO=BO=CO
∴△ABC为直角三角形∴AB⊥BC

（2）解：取BC的中点为M，连接OM，PM，所以有OM=AB=，AO=
∴
由（1）有PO⊥平面ABC，OM⊥BC，由三垂线定理得PM⊥BC
∴平面POM⊥平面PBC，又∵PO=OM=．
∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连接ON，NC
则ON⊥PM，又∵平面POM⊥平面PBC，且交线是PM，∴ON⊥平面PBC
∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角.
∴∴．
故AC与平面PBC所成的角为．
点评：本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．