Question

【题目】某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下:

尺寸	38	48	58	68	78	88
质量	16.8	18.8	20.7	22.4	24	25.5
质量与尺寸的比	0.442	0.392	0.367	0.329	0.308	0.290

(I)现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望;

(II)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表:

75.3	24.6	18.3	101.4

(i)根据所给统计量，求关于的回归方程;

(ii)已知优等品的收益(单位:千元)与的关系为，则当优等品的尺寸为何值时，收益的预报值最大? (精确到0.1)

附:对于样本， 其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）(i)，(ii)

【解析】分析：（1）要求随机变量的分布列，应先确定抽取的6件合格产品中，优等品的件数，应确定区间的大致范围，即。进而由抽取6件合格产品的测得数据可得有3件为优等品，3件为非优等品。所以取到优等品的件数，进而求这四种取值时的概率，进而可得分布列。用期望公式即可求得期望。（2）(i)因为中的与之间不是直线性回归关系，故两边取对数可得，换元令，得且，根据题中所给的表中数据可求出

进而可求得求得

所求关于的回归方程为。(ii)要求当优等品的尺寸为何值时，收益的预报值最大。应用来表示收益。故将代入可得。

可令，则可变为，这个是关于的二次函数，要求其最大值，应先求自变量的取值范围。由优等品质量与尺寸的比可求得，进而可得，即。将配方可得 。由二次函数的性质可知当时，取最大值。进而可求当优等品的尺寸，收益的预报值最大。

详解：（1）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即

则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品

现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数

的分布列为

	0	1	2	3

（2）解：(i)对两边取自然对数得，

令得且

根据所给统计量及最小乘估计公式有，

得得

所求关于的回归方程为可知，

（ii)由（i)，，则

由优等品质量与尺寸的比即

令

当时，取最大值

即优等品的尺寸，收益的预报值最大.