Question

【题目】如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上．并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，钉尖为．

（1）判断四面体的形状，并说明理由；

（2）设，当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（3）若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面成角相同，若，，问为何值时，的体积最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）正四面体；理由见解析（2）；（3）当时，最大体积为：；

【解析】

（1）根据线段等长首先确定为四面体外接球球心；又底面，可知为正三棱锥；依次以为顶点均有正三棱锥结论出现，可知四面体棱长均相等，可知其为正四面体；（2）由为四面体外接球球心及底面可得到即为所求角；设正四面体棱长为，利用表示出各边，利用勾股定理构造方程可求得，从而可求得，进而得到结果；（3）取中点，利用三线合一性质可知，从而可用表示出底面边长和三棱锥的高，根据三棱锥体积公式可将体积表示为关于的函数，利用导数求得函数的最大值，并确定此时的取值，从而得到结果.

（1）四面体为正四面体，理由如下：

四条线段等长，即到四面体四个顶点距离相等 为四面体外接球的球心

又底面 在底面的射影为的外心

四面体为正三棱锥，即，

又任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，若竖直向上

可得：

可知四面体各条棱长均相等 为正四面体

（2）由（1）知，四面体为正四面体，且为其外接球球心

设中心为，则平面，如下图所示：

即为与平面所成角

设正四面体棱长为

则，

在中，，解得：

即与平面所成角为：

（3）取中点，连接，

，为中点 且

，

令，，则

设，，则

令，解得：，

当时，；当时，

当时，取极大值，即为最大值：

即当时，取得最大值，最大值为：

此时，即

综上所述，当时，体积最大，最大值为：