Question

在数列{a_n}中，a1=1且an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…

1

n-1

an-1(n≥2)，则a_n等于

n

．

Answer 1

分析：由an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1（n≥2）①，得an+1=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1+

1

n

an②，两式相减可得数列递推式，然后利用累加法可求得a_n．

解答：解：由an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1（n≥2）①，得
an+1=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1+

1

n

an②，
②-①得，a_n+1-a_n=

1

n

an，整理得，

an+1

an

=

n+1

n

，
∴n≥2时，an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=1×

2

1

×

3

2

×…×

n

n-1

=n，
又a₁=1适合上式，∴a_n=n，
故答案为：n．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项，属中档题，累加法是求解数列通项的常用方法，要熟练应用．