Question

【题目】已知函数， .

（1）求证：对，函数与存在相同的增区间；

（2）若对任意的， ，都有成立，求正整数的最大值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)4

【解析】试题分析： 对求导，求出函数的增区间，对求导，讨论当时、当时两种情况的增区间，得证(2)构造 ，将其转化为关于的一元二次不等式，结合题意化简得，然后求导解不等式

解析：（1），所以在为增函数，在为减函数，

由 ，

当时， 恒成立，则在上单调递增，所以命题成立，

当时， 在为减函数，在为增函数，

设得，令得，

在为减函数，在为增函数，且，所以，

同理，所以，所以与存在相同的增区间.

综上：命题成立.

（2）证明：对任意的， ，都有，

则 ，

则 ，所以 ，

则，由（1）可知，所以有： 恒成立.

设，则，且，

由， ，

所以在上有唯一实数根，且，

当时为减函数，当时为增函数，

所以， ， ，所以，

且是正整数，所以，所以的最大值为4.