Question

【题目】已知直线 ，若存在实数 使得一条曲线与直线 由两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于 ，则称此曲线为直线 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：

① ；② ；③ ；④ .

其中直线 的“绝对曲线”的条数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】依题意可知，直线恒过定点.对于①，函数的图象关于直线对称，如图所示，所以直线与其只能有一个交点，故满足题意的不存在，故① 不符合题意；

对于② ，方程的图象为以点为圆心的圆，因此直线过圆心，直线与圆两个交点所组成的线段长为，故当，直线或，直线斜率的绝对值等于截线段长度，即存在，故② 符合题意；对于③ ，此曲线为一个椭圆，定点在椭圆上，将直线方程代入可得，所以，若曲线是直线的“绝对曲线”，则，即，化简得，令，则问题转化为存在，使得成立，因为，且为连续函数，所以在区间存在零点，即存在实根，故③符合题意；对于④，首先明确两个极限情况： ，此时斜率绝对值无穷大，截线段长度为有限值； ，此时斜率绝对值为零，且当斜率绝对值趋于零时，截线段长度趋于无穷大；若将直线绕点逆时针旋转，可见斜率绝对值变化趋势为由正无穷单调递减至零，截线段长度变化趋势为从一有限值趋于正无穷（变化过程不一定单调），设为斜率绝对值变化情况， 为线段长度变化情况， 为转动角度，做出示意图如下：

必存在某一转动角度使得与图象相交，即存在使得直线斜率的绝对值等于截线段长度，故④符合题意，直线 的“绝对曲线”的条数为4，故选C.