Question

【题目】已知数列{an}满足an+1= an+t，a1= （t为常数，且t≠ ）．
（1）证明：{an﹣2t}为等比数列；
（2）当t=﹣ 时，求数列{an}的前几项和最大？
（3）当t=0时，设cn=4an+1，数列{cn}的前n项和为Tn ， 若不等式 ≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵数列{an}满足an+1= an+t，a1= （t为常数，且t≠ ），

∴ ，

∴ = ，

又a1﹣2t= ，

∴{an﹣2t}是以 为首项，以 为公比的等比数列

（2）解：当t=﹣ 时，{an+ }是以 为首项，以 为公比的等比数列，

∴ ，

∴ ，

由 ≥0，解得n≤2．

∴数列{an}的前2项和最大

（3）解：当t=0时，∴{an}是以 为首项，以 为公比的等比数列，∴an= ，

cn=4an+1= +1，

∴数列{cn}的前n项和：

Tn= =4+n﹣ ，

∵不等式 ≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，

∴3k≥ 对任意的n∈N*恒成立，

设 ，由dn+1﹣dn= = ，

∴当n≤4时，dn+1＞dn，

当n≥4时，dn+1＜dn，

∵ ，

∴3k ，解得k ．

∴实数k的取值范围是[ ）

【解析】（1）由已知得 ，由此能证明{an﹣2t}是以 为首项，以 为公比的等比数列．（2）当t=﹣ 时，{an+ }是以 为首项，以 为公比的等比数列，求出 ，由此能求出数列{an}的前几项和最大．（3）当t=0时，an= ，cn=4an+1= +1，从而Tn=4+n﹣ ，由不等式 ≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，得到3k≥ 对任意的n∈N*恒成立，由此能求出实数k的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．