Question

设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：
①给定向量，总存在向量，使；
②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；
③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；
上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．
解答：解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，
故总存在向量，使，故①正确；
选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；
选项③，由题意必有和表示不共线且长度不定的向量，
由于μ为正数，故+不能把向量任意表示出来，故③错误；
选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，
故不一定能使成立，故④错误．
故选B
点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．