题目内容

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 $数学公式$ ，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求椭圆的方程．
（2）求m的取值范围．
（3）当m=1时，求弦长|AB|的值．

解：（1）设椭圆方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0），则
∵离心率为 $\text{[math]}$ ，∴a²=4b²①
∵椭圆经过点M（4，1），∴ $\text{[math]}$ ②
由①②可得a²=20，b²=5
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）将直线l：y=x+m代入椭圆 $\text{[math]}$ ，消去y可得5x²+8mx+4m²-20=0
∵直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点
∴△=64m²-20（4m²-20）＞0，
∴-5＜m＜5；
（3）当m=1时，直线y=x+1代入椭圆方程 $\text{[math]}$ ，消去y整理得5x²+8x-16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂=- $\text{[math]}$ ，
∴|AB|= $\text{[math]}$ |x₁-x₂|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设出椭圆方程，利用离心率为 $\text{[math]}$ ，且经过点M（4，1），建立方程，求出几何量，即可求椭圆的方程．
（2）直线与椭圆方程联立，利用判别式可得结论；
（3）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求弦长|AB|的值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．