Question

设数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=4，a₂=，，．?
（1）用a_n表示a_n+1；并证明：?n∈N₊，a_n＞2；?
（2）证明：是等比数列；?
（3）设S_n是数列{a_n}的前n项和，当n≥2时，S_n与是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可分别求得a₁和a₂，进而求得b₁，整理把代入整理得a_n+1b_n+1=a_nb_n═a₁b₁=4推断出代入中求得a_n和a_n+1的递推式，根据均值不等式可知＞2，进而可知a_n+1＞2进而推断出?n∈N₊，a_n＞2
（2）根据（1）中结论可求得a_n+1+2，a_n+1-2的表达式，进而可求得，判断出所以是等比数列．
（3）由（2）可求得数列的通项公式，进而求得a_n，设，根据进而判断出
可推断出，进而利用等比数列的求和公式求得S_n=．
解答：解：（1）由已知得a₁=4，a₂=，所以b₁=1故a_n+1b_n+1=a_nb_n═a₁b₁=4；
由已知：a_n＞0，a₁＞2，a₂＞2，∴，
由均值不等式得a_n+1＞2
故??n∈N₊，a_n＞2

（2），，

所以，所以是等比数列

（3）由（2）可知∴
设，（n≥2）
?
∴当n≥2时，
?
=
=．
点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．