题目内容
设数列{an}满足a1=0，4an+1=4an+2| 4an+1 |
| 4an+1 |
（1）试判断数列{bn}是否为等差数列？并求数列{bn}的通项公式；
（2）令Tn=
| b1×b3×b5×…×b(2n-1) |
| b2×b4×b6×…b2n |
| bn+1 |
| 2 |
（3）比较bnbn+1与bn+1bn的大小．
分析：（1）利用已知配凑出4an+1+1、4an+1即bn+1、bn的形式，然后根据等差数列的定义求解；
（2）构造数列cn=Tn
，在（1）的基础上，求出cn表达式，利用cn的单调性求出cn的最大值，从而转化为不等式求解问题，进而完成对a的探索．
（3）构造函数f(x)=
，利用函数的单调性分n≤2和n≥3两种情况探索．
（2）构造数列cn=Tn
| bn+1 |
（3）构造函数f(x)=
| lnx |
| x |
解答：解：（1）由已知得an+1+
=(an+
)+
+
，
即4an+1+1=4an+1+2
+1，（2分）
所以bn+12=bn2+2bn+1，即bn+1=bn+1，
又b1=1，所以数列{bn}为等差数列，
通项公式为bn=n（n∈N*）．
（2）令cn=Tn
，
由Tn=
，
得
=
=
×
=
=
＜1
所以，数列{cn}为单调递减数列，（8分）
所以数列{cn}的最大项为c1=
，
若不等式Tn
＜
log2(a+1)对一切n∈N*都成立，只需
＜
log2(a+1)，
解得a＞
-1，
所以a的取值范围为（
-1，+∞）．（12分）
（3）问题可转化为比较nn+1与（n+1）n的大小．
设函数f(x)=
，所以f′(x)=
．
当0＜x＜e时，f'（x）＞0；
当x＞e时，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，e）上为增函数；在（e，+∞）上为减函数．
当n=1，2时，显然有nn+1＜（n+1）n，
当n≥3时，f（n）＞f（n+1），即
＞
，
所以（n+1）lnn＞nln（n+1），即lnnn+1＞ln（n+1）n，
所以nn+1＞（n+1）n．
综上：当n=1，2时，nn+1＜（n+1）n，即bnbn+1＜bn+1bn；
当n≥3时，nn+1＞（n+1）n即bnbn+1＞bn+1bn．（16分）
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
an+
|
| 1 |
| 4 |
即4an+1+1=4an+1+2
| 4an+1 |
所以bn+12=bn2+2bn+1，即bn+1=bn+1，
又b1=1，所以数列{bn}为等差数列，
通项公式为bn=n（n∈N*）．
（2）令cn=Tn
| bn+1 |
由Tn=
| b1×b3×b5××b(2n-1) |
| b2×b4×b6×b2n |
得
| cn+1 |
| cn |
| ||||
|
| 2n+1 |
| 2n+2 |
| ||
|
=
|
|
所以，数列{cn}为单调递减数列，（8分）
所以数列{cn}的最大项为c1=
| ||
| 2 |
若不等式Tn
| bn+1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
解得a＞
| 2 |
所以a的取值范围为（
| 2 |
（3）问题可转化为比较nn+1与（n+1）n的大小．
设函数f(x)=
| lnx |
| x |
| 1-lnx |
| x2 |
当0＜x＜e时，f'（x）＞0；
当x＞e时，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，e）上为增函数；在（e，+∞）上为减函数．
当n=1，2时，显然有nn+1＜（n+1）n，
当n≥3时，f（n）＞f（n+1），即
| lnn |
| n |
| ln(n+1) |
| n+1 |
所以（n+1）lnn＞nln（n+1），即lnnn+1＞ln（n+1）n，
所以nn+1＞（n+1）n．
综上：当n=1，2时，nn+1＜（n+1）n，即bnbn+1＜bn+1bn；
当n≥3时，nn+1＞（n+1）n即bnbn+1＞bn+1bn．（16分）
点评：本题主要考查数列、函数、导数、不等式等基础知识，分类讨论、化归思想等数学思想方法，以及推理、分析与解决问题的能力．
练习册系列答案
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设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx满足f′(
)=0若cn=an+
，则数列{cn}的前n项和Sn为（ ）
| π |
| 2 |
| 1 |
| 2an |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|