Question

18．已知如图1所示的四边形ABCD中，DA⊥AB，点E为AD中点，连接CE，AD=EC=2AB=$\sqrt{2}$BC=2；现将四边形沿着CE进行翻折，使得平面CDE⊥平面ABCE，连接DA，DB，BE得到如图2所示的四棱锥D-ABCE．
（Ⅰ）证明：平面BDE⊥平面BDC；
（Ⅱ）已知点F为侧棱DC上的点，若$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{DC}$，求二面角F-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在图1中连结BE，通过已知条件易得CE⊥AD，在图2中，通过面面垂直的性质定理、判定定理及线面垂直的判定定理可得结论；
（Ⅱ）以E为原点建立空间坐标系，则所求二面角即为平面EBF的一个法向量与平面BDE的一个法向量的夹角，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：如图所示，在图1中连结BE，
∵AB=AE=1，DA⊥AB，∴BE=$\sqrt{2}$，
又∵BC=$\sqrt{2}$，CE=2，∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠AEC=∠AEB+∠BEC=90°，即CE⊥AD，
在图2中，∵平面CDE⊥平面ABCE，平面CDE∩平面ABCE=CE，
∴CE⊥DE，∴DE⊥平面ABCE，
∵BC?平面ABCE，∴DE⊥BC，
又BE⊥BC，且DE∩BE=E，
∴BC⊥平面BDE，
又BC?平面BDC，∴平面BDE⊥平面BDC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CE⊥DE，DE⊥AE，AE⊥CE，
故以E为原点建立空间坐标系如图，
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），D（0，0，1），
∴$\overrightarrow{DC}$=（0，-2，-1），∴$\overrightarrow{EB}$=（1，1，0），
又$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{DC}$，∴F（0，$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$），∴$\overrightarrow{EF}$=（0，$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$），
设平面EBF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2y+4z=0}\end{array}\right.$，
令x=-2，得$\overrightarrow{n}$=（-2，2，-1），
由（Ⅰ）知$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0）为平面BDE的一个法向量，
∴$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵二面角F-BE-D成锐角，
∴所求二面角F-BE-D的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查空间线面位置关系的判断及求二面角，考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题．