Question

已知函数，，（1）若的最小值为2，求值；（2）设函数有零点，求的最小值.

Answer 1

（1）1；（2）.

试题分析：（1）本小题可利用对勾函数（a>0,b>0）的性质：当时，在x=时，取最小值完成求值；（2）本小题等价于方程 有实根时求的最小值问题，令，问题可化为方程（）有实根问题.
试题解析：（1）因为函数为对勾函数，而为偶函数，所以只需把问题转化为考虑时，有最小值为2，求值问题，令，可得，代入中，有，得.
（2）等价于方程 有实根，x=0显然不是根．令, x为实数，则，同时有：，方程两边同时除以,得：，即，此方程有根，令 ，有根则= -4(b-2) 0，若根都在(-2,2),则有=2-2a+b>0, =2+2a+b>0, 即, 也可表为，故有的根的范围是：, 即，故，当b=时，a=时, 取得最小值.
（另解：由于，则，从而，令，从而，从而.当且仅当取等号.故的最小值为.