题目内容

已知点P（1， $数学公式$ ）是曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜ $数学公式$ ）的一个最高点，且f（9-x）=f（9+x），曲线区间（1，9）内与x轴有唯一一个交点，求这个函数的解析式，并作出一个周期的图象．

解：∵点P（1， $\text{[math]}$ ）是曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜ $\text{[math]}$ ）的一个最高点，
∴A= $\text{[math]}$ ，
∵f（9-x）=f（9+x），曲线区间（1，9）内与x轴有唯一一个交点，
∴x=9是曲线的一条对称轴，且 $\text{[math]}$
∴T=16，
而 $\text{[math]}$ ，ω= $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∵|φ|＜ $\text{[math]}$ ，
φ= $\text{[math]}$
∴f（x）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ），

其图象如图所示：
分析：根据点P（1， $\text{[math]}$ ）是曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜ $\text{[math]}$ ）的一个最高点，可知A= $\text{[math]}$ ，由f（9-x）=f（9+x）得函数的一条对称轴方程为x=9，根据曲线区间（1，9）内与x轴有唯一一个交点，可知函数的周期，因此可求得函数的解析式；利用五点法列表，描点，即可画出函数的图象．
点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法以及五点法作图，根据题意求出周期是解题的关键，考查运算能力和作图能力，属中档题．