Question

在数列{a_n}、{b_n}中，a₁＝2，b₁＝4，且a_n，b_n，a_n＋1成等差数列，b_n，a_n＋1，b_n＋1成等比数列(n∈N^*)．

(1)求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论；

(2)证明：＋＋…＋＜.

Answer 1

(1)由条件得2b_n＝a_n＋a_n＋1，a＝b_nb_n＋1.

由此可得a₂＝6，b₂＝9，a₃＝12，b₃＝16，a₄＝20，b₄＝25.

猜测a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)².

用数学归纳法证明：

①当n＝1时，由上可得结论成立．

②假设当n＝k(k≥1且k∈N^*)时，结论成立，

即a_k＝k(k＋1)，b_k＝(k＋1)²，

那么当n＝k＋1时，a_k＋1＝2b_k－a_k＝2(k＋1)²－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，b_k＋1＝＝(k＋2)²，

所以当n＝k＋1时，结论也成立．

由①②，可知a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)²对一切正整数都成立．

错因　第二问由于不等式的右端为常数，结论本身是不能用数学归纳法证明的，可考虑用放缩法证明，也可考虑加强不等式后，用数学归纳法证明．(2)当n＝1时

＝＜

假设n＝k(k∈N^*)时不等式成立

即＋＋…＋＜

当n＝k＋1时

＋＋…＋＋＜＋

到此无法用数学归纳法证明．

正解　(1)用实录(1)

(2)证明：＝＜.

n≥2时，由(1)知a_n＋b_n＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.

故＋＋…＋

＜＋

＝＋

＝＋＜＋＝.

综上，原不等式成立．