Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心，，C₁H⊥平面AA₁B₁B，且．
（Ⅰ）求异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值；
（Ⅲ）设N为棱B₁C₁的中点，点M在平面AA₁B₁B内，且MN⊥平面A₁B₁C₁，求线段BM的长．

Answer 1

【答案】分析：方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．（Ⅰ）求出中的有关向量，然后求出异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）利用求出平面AA₁C₁的法向量，通过求出平面A₁B₁C₁的法向量，然后利用求二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值；
（Ⅲ）设N为棱B₁C₁的中点，设M（a，b，0），利用MN⊥平面A₁B₁C₁，结合求出a，b，然后求线段BM的长．
方法二：（I）说明∠C₁A₁B₁是异面直线AC与A₁B₁所成的角，通过解三角形C₁A₁B₁，利用余弦定理，．
求出异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值为．
（II）连接AC₁，过点A作AR⊥A₁C₁于点R，连接B₁R，说明∠ARB₁为二面角A-A₁C₁-B₁的平面角．连接AB₁，在△ARB₁中，通过，
求出二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值为．
（III）首先说明MN⊥A₁B₁．取HB₁中点D，连接ND，由于N是棱B₁C₁中点，推出ND⊥A₁B₁．证明A₁B₁⊥平面MND，连接MD并延长交A₁B₁于点E，延长EM交AB于点F，
连接NE．连接BM，在Rt△BFM中，求出．
解答：方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．
依题意得

（I）解：易得，
于是，
所以异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值为．
（II）解：易知．
设平面AA₁C₁的法向量=（x，y，z），
则即
不妨令，可得，
同样地，设平面A₁B₁C₁的法向量=（x，y，z），
则即不妨令，
可得．
于是，
从而．
所以二面角A-A₁C₁-B的正弦值为．
（III）解：由N为棱B₁C₁的中点，
得．设M（a，b，0），
则
由MN⊥平面A₁B₁C₁，得
即
解得故．
因此，所以线段BM的长为．
方法二：
（I）解：由于AC∥A₁C₁，故∠C₁A₁B₁是异面直线AC与A₁B₁所成的角．
因为C₁H⊥平面AA₁B₁B，又H为正方形AA₁B₁B的中心，，
可得A₁C₁=B₁C₁=3．

因此．
所以异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值为．
（II）解：连接AC₁，易知AC₁=B₁C₁，
又由于AA₁=B₁A₁，A₁C₁=A₁C₁，
所以△AC₁A₁≌△B₁C₁A₁，过点A作AR⊥A₁C₁于点R，
连接B₁R，于是B₁R⊥A₁C₁，故∠ARB₁为二面角A-A₁C₁-B₁的平面角．
在Rt△A₁RB₁中，．
连接AB₁，在△ARB₁中，=，
从而．
所以二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值为．
（III）解：因为MN⊥平面A₁B₁C₁，所以MN⊥A₁B₁．
取HB₁中点D，连接ND，由于N是棱B₁C₁中点，
所以ND∥C₁H且．
又C₁H⊥平面AA₁B₁B，
所以ND⊥平面AA₁B₁B，故ND⊥A₁B₁．
又MN∩ND=N，
所以A₁B₁⊥平面MND，连接MD并延长交A₁B₁于点E，
则ME⊥A₁B₁，故ME∥AA₁．
由，
得，延长EM交AB于点F，
可得．连接NE．
在Rt△ENM中，ND⊥ME，故ND²=DE•DM．
所以．
可得．
连接BM，在Rt△BFM中，．
点评：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．