Question

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距为4，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ） 求弦AB的长；
（Ⅱ） 若直线l的斜率为k，且$k≥\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，求椭圆C的长轴长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=2，F（2，0），设出A，B坐标，由中点坐标公式可得M，N的坐标，再由平面向量数量积坐标表示，即可得到所求弦长；
（Ⅱ）设l方程为y=kx，和椭圆方程联立，解得交点坐标，化简整理，结合条件，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得c=2，F（2，0），
设$A（{x_0}，{y_0}），则B（-{x_0}，-{y_0}），M（\frac{{{x_0}+2}}{2}，\frac{y_0}{2}），N（\frac{{2-{x_0}}}{2}，\frac{{-{y_0}}}{2}）$…．（2分）
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=1-$\frac{1}{4}$（x₀²+y₀²）=-$\frac{1}{4}$，则$x_0^2+y_0^2=5$，…．（4分）
所以AB的长为2$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$2\sqrt{5}$…（5分）
（Ⅱ）设l方程为y=kx，和椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-4}}=1$，
联立消元整理得${x_0}^2=\frac{{{a^2}（{a^2}-4）}}{{{a^2}+{a^2}{k^2}-4}}$，${y_0}^2=\frac{{{a^2}（{a^2}-4）{k^2}}}{{{a^2}+{a^2}{k^2}-4}}$，…（7分）
又$x_0^2+y_0^2=5$，则$\frac{{{a^2}（{a^2}-4）（1+{k^2}）}}{{{a^2}+{a^2}{k^2}-4}}=5，{k^2}=\frac{{（{a^2}-5）（{a^2}-4）}}{{{a^2}（9-{a^2}）}}≥\frac{3}{2}$…．（10分）
则$8≤{a^2}＜9，2\sqrt{2}≤a＜3$，
则长轴长范围是[4$\sqrt{2}$，6）…．（12分）

点评 本题考查椭圆方程应用，考查直线和椭圆方程联立，解方程求交点，以及解不等式的能力，属于中档题．