Question

已知椭圆C₁：，抛物线C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点，
（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，
直线AB的方程为：x=1，
从而点A的坐标为（1，）或（1，），
因为点A在抛物线上，
所以，
此时C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上。
（Ⅱ）假设存在m、p的值使C₂的焦点恰在直线AB上，
由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x-1），
由消去y得，……………①
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程①的两根，x₁+x₂=，
由消去y得，………………②
因为C₂的焦点在直线y=k（x-1）上，
所以，
代入②有，即，……………③
由于x₁，x₂也是方程③的两根，
所以x₁+x₂=，
从而，……………………④
又AB过C₁、C₂的焦点，
所以，
则，………………………⑤
由④、⑤式得，
解得，
因为C₂的焦点在直线上，
所以，
∴；
由上知，满足条件的m、p存在，且，。