Question

18．函数y=cosx（cosx+sinx）的值域为[$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 运用二倍角的正弦和余弦公式和两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求值域．

解答 解：函数y=cosx（cosx+sinx）
=cosxsinx+cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
由-1≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤1，可得
$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有函数的值域为[$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故答案为：[$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，主要考查二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，注意运用正弦函数的值域，属于中档题．