Question

【题目】已知实数对满足.

（1）求的最大值和最小值；

（2）求的最小值；

（3）求的最值

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设，进而根据圆心（2，0）到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值；
（2）设，仅当直线与圆切于第四象限时，纵轴截距取最小值，进而利用点到直线的距离等于半径求得的最小值；
（3）是圆上点与原点距离之平方，故连接，与圆交于B点，并延长交圆于，进而可知的最大值和最小值分别为和，答案可得.

解：（1）方程，即

表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.
设，即，

当圆心（2，0）到的距离为半径时直线与圆相切，此时斜率分别取得最大、最小值，

由，
解得，
所以；

（2）设，则，仅当直线与圆切于第四象限时，纵轴截距取最小值.
由点到直线的距离公式，得，即或，
故；

（3）是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于，可知B到原点的距离最近，点到原点的距离最大，

此时有，
则.