Question

若直线l与圆⊙O：x²+y²=9，交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且△AOB是等边三角形，则x₁x₂+y₁y₂=

 

．

Answer 1

分析：由△AOB是等边三角形，可得AO=BO=AB=3，故考虑直线了l的斜率存在情况：分别就k存在与不存在两种情况讨论：当直线的斜率不存在时容易求解当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：y=kx+b，联立方程

y=kx+b x2+y2=9

可得（1+k²）x²+2kbx+b²-9=0，由已知可得O到直线的距离

3

2

3

，利用点到直线的距离可得b，k的关系，然后根据方程根与系数的关系代入求解，可得答案．

解答：解：由△AOB是等边三角形，可得AO=BO=AB=3
当直线的斜率不存在时可得满足条件的直线 L：y=±

3 3

2

，此时x₁x₂+y₁y₂=

9

2

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：y=kx+b
联立方程

y=kx+b x2+y2=9

可得（1+k²）x²+2kbx+b²-9=0
∴x1+x2= -

2kb

1+k2

，x1x2=

b2-9

1+k2

由已知可得O到直线的距离

3

2

3

，利用点到直线的距离可得b2=

27

4

(1+k2)
x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=b2-9-

2k2b2

1+k2

+b2
=2 ×

27

4

(1+k2) -9-  

27

2

k2=

9

2

故答案为：

9

2

点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质，联立直线方程与曲线方程是解决弦长问题常见的方法，而利用点到直线的距离公式可以简化计算．