Question

（2012•江苏一模）平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为

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（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；
（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出O点到直线x-y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；
（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；
（3）设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则N（x₁，-y₁），x12+y12=2，x22+y22=2，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．

解答：解：（1）因为O点到直线x-y+1=0的距离为

1

2

，（2分）
所以圆O的半径为

( 1 2 )2+( 6 2 )2

=

2

，
故圆O的方程为x²+y²=2．                         （4分）
（2）设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，即bx+ay-ab=0，
由直线l与圆O相切，得

|ab|

a2+b2

=

2

，即

1

a2

+

1

b2

=

1

2

，（6分）
DE2=a2+b2=2(a2+b2)(

1

a2

+

1

b2

)≥8，
当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y-2=0．（10分）
（3）设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则N（x₁，-y₁），x12+y12=2，x22+y22=2，
直线MP与x轴交点(

x1y2-x2y1

y2-y1

，0)，m=

x1y2-x2y1

y2-y1

，
直线NP与x轴交点(

x1y2+x2y1

y2+y1

，0)，n=

x1y2+x2y1

y2+y1

，（14分）
mn=

x1y2-x2y1

y2-y1

×

x1y2+x2y1

y2+y1

=

x12y22-x22y12

y22-y12

=

(2-y12)y22-(2-y22)y12

y22-y12

=2，
故mn为定值2．                                （16分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生的运算能力，属于中档题．