Question

在直角坐标系xoy中，圆O的方程为x²+y²=1．
（1）若直线l与圆O切于第一象限且与坐标轴交于点A，B，当|AB|最小时，求直线l的方程；
（2）若A，B是圆O与x轴的交点，C是圆在直径AB的上方的任意一点，过该点作CD⊥AB交圆O于点D，当点C在圆O上移动时，求证：∠OCD的角平分线经过圆O上的一个定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）设出直线方程，利用直线与圆相切，建立方程，利用基本不等式求出|AB|的最小值，从而可求直线l的方程；
（2）设∠OCD的角平分线为CP，交圆于P，证明OP⊥AB，即可求得结论．

解答：（1）解：设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，则

1

1 a2 + 1 b2

=1，
∴

1

a2

+

1

b2

=1，∴ab≥2（当且仅当a=b=

2

时，取等号）
∴|AB|=

a2+b2

≥

2ab

≥2（当且仅当a=b=

2

时，取等号）
即|AB|最小为2，此时直线l的方程为x+y-

2

=0；
（2）证明：设∠OCD的角平分线为CP，交圆于P，则∠OCP=∠DCP
因为OC、OP为圆的半径，所以∠OCP=∠OPC，所以∠DCP=∠OPC
所以CD∥OP
因为CD⊥AB，A、B为定点，所以OP⊥AB
所以P为定点，坐标为（0，-1）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查直线恒过定点，属于中档题．