题目内容
已知函数
在[0，+∞）上单调递增，数列{an}满足
，
，
（n∈N*）．（Ⅰ）求实数a的取值范围以及a取得最小值时f（x）的最小值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）求证：
（n∈N*）．
【答案】分析：（Ⅰ）由题意，f′（x）=
≥0在[0，+∞）上恒成立，分离参数，可得a≥
在[0，+∞）上恒成立，求出最值，即可得到结论；
（Ⅱ）先证明{
}是常数数列，再证明{an-1}是首项为-
，公比为
的等比数列，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
对x∈[0，+∞）恒成立，令x=
，则
，可得
＜ln（3n+1-2）-ln（3n-2），叠加即可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：由题意，f′（x）=
≥0在[0，+∞）上恒成立
∴a≥
在[0，+∞）上恒成立
∵x∈[0，+∞），∴
∈（0，1]
∴a≥1
当a=1时，f（x）min=f（0）=0；
（Ⅱ）解：∵
，
∴
=
∴{
}是常数数列
∵
，
，
∴
∴
=
∴
∴
∴{an-1}是首项为-
，公比为
的等比数列
∴an-1=（-
）•
∴an=1-
；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知
对x∈[0，+∞）恒成立
令x=
，则
∴
＜ln（
+1）=ln（3n+1-2）-ln（3n-2）
∴
+
+…+
＜[ln（32-2）-ln（31-2）]+[ln（33-2）-ln（32-2）]+…+ln（3n+1-2）-ln（3n-2）=ln（3n+1-2）
∴
点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
≥0在[0，+∞）上恒成立，分离参数，可得a≥在[0，+∞）上恒成立，求出最值，即可得到结论；（Ⅱ）先证明{
}是常数数列，再证明{an-1}是首项为-，公比为的等比数列，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅰ）知
对x∈[0，+∞）恒成立，令x=，则，可得＜ln（3n+1-2）-ln（3n-2），叠加即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：由题意，f′（x）=
≥0在[0，+∞）上恒成立∴a≥
在[0，+∞）上恒成立∵x∈[0，+∞），∴
∈（0，1]∴a≥1
当a=1时，f（x）min=f（0）=0；
（Ⅱ）解：∵
，∴
=∴{
}是常数数列∵
，，∴
∴
=∴
∴
∴{an-1}是首项为-
，公比为的等比数列∴an-1=（-
）•∴an=1-
；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知
对x∈[0，+∞）恒成立令x=
，则∴
＜ln（+1）=ln（3n+1-2）-ln（3n-2）∴
++…+＜[ln（32-2）-ln（31-2）]+[ln（33-2）-ln（32-2）]+…+ln（3n+1-2）-ln（3n-2）=ln（3n+1-2）∴
点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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，求证：
；
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，求证：
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的取值范围是（
）
)
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