Question

【题目】已知函数，，.

(1)当时，若对任意均有成立，求实数的取值范围；

(2)设直线与曲线和曲线相切，切点分别为，，其中.

①求证：；

②当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①证明见解析；②

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，可得不等式，由于，则，

利用导数法，分别函数的最小值，的最大值，从而可确定实数的取值范围；（Ⅱ）①根据题意，由函数，的导数与切点分别给出切线的方程，由于切线相同，则其斜率与在轴上的截距相等，建立方程组，由，从而可证；②将不等式，转化为，构造函数，由函数的单调性求其最大值，从而问题得于解决.

试题解析：（Ⅰ）:当时：

由知：

依题意：对恒成立

设

当时；当时，

设

当时；当时，

故：实数k的取值范围是

（Ⅱ）由已知：，

①：由得：

由得：

故

，，，故：

②：由①知：，且

由得：，

设

在为减函数，

由得：

又