Question

12．设函数y=f（x）是定义在R上的可导函数，当x≠0时，f（x）＜-$\frac{x}{2}$f′（x），则函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{x^2}$的零点个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 0或 2

Answer 1

分析 令m（x）=x²f（x），根据当x≠0时，f（x）＜-$\frac{x}{2}$f′（x），求出m（x）的单调性，令h（x）=x²g（x）=x²f（x）-1，求出h（x）的单调性，从而求出函数的零点的个数．

解答 解：∵满足当x≠0时，f（x）＜-$\frac{x}{2}$f′（x），
∴2f（x）+xf′（x）＜0，
令m（x）=x²f（x），则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∴当x＞0时，g′（x）＜0；当x＜0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）递减，在（-∞，0）递增，
令h（x）=x²g（x）=x²f（x）-1，
则h′（x）=m′（x），
∴当x＞0时，函数h（x）单调递减；当x＜0时，函数h（x）单调递增，
∴h（x）的最大值是h（0）=-1，
显然g（x）的定义域是x≠0，
∴关于x的函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{{x}^{2}}$的零点个数是0个．
故选：A．

点评 本题通过构造函数利用函数的单调性研究函数零点的个数，属于难题．