Question

4．对于n∈N^*，将n表示为$n={a_0}•{2^k}+{a_1}•{2^{k-1}}+…+{a_{k-1}}•{2^1}+{a_k}•{2^0}$，
当i=0时，a_i=1，
当1≤i≤k时，a_i=0或1．
记I（n）为上述表示中a为0的个数（例如：1=1•2⁰，4=1•2²+0•2¹+0•2⁰，所以I（1）=0，I（4）=2），
则（1）I（12）=2，（2）I（1）+I（2）+…+I（2048）=9228．

Answer 1

分析 1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，由I（n）的意义，可得答案；
（2）由组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，则I（12）=2；
（2）I（1）=0=0•2^-1，I（2）+I（3）=1=1•2⁰，
I（4）+I（5）+I（6）+I（7）=4=2•2¹，
I（8）+I（9）+…+I（15）=12=3•2²…，
所以I（1）+I（2）+…+I（2048）
=0•2^-1+1•2⁰+2•2¹+…+10•2⁹+11=9228，
故答案为：2，9228．

点评 解本题关键在于分析题意，透彻理解I（n）的含义的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算．