Question

某航模兴趣小组的同学，为了测出在湖面上航模航行速度，采用如下办法，在岸边设置两个观测点A、B，且AB=80米，当航模在C处时，测得∠ABC=105°及∠BAC=30°，经过20秒钟后，航模直线航行到D处，此时测得∠BAD=90°和∠ABD=45°，试根据以上条件求出航模速度（结果保留根号）

Answer 1

分析：解答本题主要是求出线段CD的长度，由题意不妨选定在三角形ADC中求解，由题意可分别在两个三角形ABD与ABC中求得角DAC与边AD，AC，再由余弦定理求出CD．

解答：解：由题在三角形BAD中，∠BAD=90°和∠ABD=45°，AB=80，故可得出AD=80，又∠BAC=30°，可得出解DAC=60°，
在三角形ABC中，∠ABC=105°及∠BAC=30°，AB=80，故有AC=

AB×sin∠ABC

sin∠ACB

=

80×sin105°

sin45°

=40（

3

+1）
由余弦定理得CD²=AD²+AC²-2AD×AC×cos60°=40²×6，
故CD=40

6

，可得航模的速度是

40 6

20

=2

6

米/秒
答：航模的速度是2

6

米/秒

点评：本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等）解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角．本类题属于三角形中知识的综合运用题，需要综合运用三角函数的性质，三角恒等变换及正余弦定理，故解题时要注意根据题设条件选择合适的公式解题．