Question

某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观测点A，B（假设A，B，C，D在同一水平面上），且AB=80米，当航模在C 处时，测得∠ABC=
105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°．请你根据以上条件求出航模的速度．（答案保留根号）

Answer 1

分析：通过直角三角形求出BD，在△ABC中利用正弦定理求出BC，在△BCD中利用余弦定理求出CD，然后求出航模的速度．

解答：解、由条件可知∠ACB=45°，∠CBD=60°．…（1分）
在△ABD中∵∠BAD=90°，∠ABD=45°，AB=80
∴BD=

AB

cos∠ABD

=

80

cos450

=80

2

…（4分）
在△ABC中∠BAC=30°，∠ACB=45°，AB=80
根据正弦定理有

AB

sin∠ACB

=

BC

sin∠BAC

即BC=

AB•sin∠BAC

sin∠ACB

=

80sin30°

sin45°

=40

2

…（7分）
在△BCD中∴BD=80

2

，BC=40

2

，∠CBD=60°
根据余弦定理有CD=

BC2+BD2-2BC•BDcos∠CBD

=

(40 2 )2+(80 2 )2-2×40 2 ×80 2 •cos60°

=40

3

…（10分）
所以航模的速度v=

40 3

20

=2

3

(米/秒)．            …（12分）

点评：本题考查解三角形的实际应用，正弦定理，余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．