Question

6．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=at}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C交于A、B两点．
（I）当|AB|最大时，求实数a的值；
（II）当|AB|最小时，求实数a的值．

Answer 1

分析 （I）把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²代入即可得到直角坐标方程，当|AB|最大时，直线l经过圆心（1，1）．
（II）当|AB|最小时，直线l与圆相切，即可得出．

解答 解：（I）曲线C的方程ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），展开可得：ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ-sinθ），可得直角坐标方程：x²+y²-2x+2y=0，配方为（x-1）²+（y-1）²=2，
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=at}\end{array}\right.$（t为参数）化为直角坐标方程；y=$\frac{a}{2}$x，
当|AB|最大时，直线l经过圆心（1，1），∴1=$\frac{1}{2}a$，解得a=2．
（II）当|AB|最小时，直线l与圆相切，∴$\frac{|a-2|}{\sqrt{{a}^{2}+4}}$=$\sqrt{2}$，解得a=-2．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．