Question

（08年舞阳一高四模理）（12分） 设a≥0，f (x)=x－1－ln² x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln²x－2a ln x＋1.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：根据求导法则有，

故，

于是，

列表如下：

		2
		0
		极小值

故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．

（Ⅱ）证法（一）：由知，的极小值．

于是由上表知，对一切，恒有．

从而当时，恒有，故在内单调增加．

所以当时，，即．

故当时，恒有．

证法（二）：令G(x)= （ ）

则

再令H(x)=

则

当时，H(x)为递减函数，当时，H(x)为递增函数

所以H(x)在x=2时取最小值为H(2)=既

所以G(x)在为递增函数

既故当时，恒有．