Question

已知f(x)=

a-ccosx

b+csinx

+

b-csinx

a+ccosx

，其中a、b、c为正实数，x∈[0，

π

2

]．
（1）若f（x）=0，求常数a、b、c所满足的条件；
（2）当a=b=c≠0时，求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=0，把函数解析式通分后，分子去括号合并后，令分子等于0，即可得到a，b及c满足的关系式；
（2）由a=b=c，把a与b换为c，代入函数解析式，通分后设sinx+cosx=t，两边平方后，根据同角三角函数间的平方关系表示出sinxcosx，将表示出的sinxcosx及设出的sinx+cosx代入函数解析式，把函数解析式化为关于t的关系式，由sinx+cosx的范围求出t的范围，进而得到（t+1）²的范围，即可得到函数的值域．

解答：解：（1）由f（x）=0，
可得

a-ccosx

b+csinx

+

b-csinx

a+ccosx

=

a2-c2cos2x+b2-c2sin2x

(b+csinx)(b+csinx)

=

a2+b2-c2

(b+csinx)(b+csinx)

=0，
得a²+b²-c²=0；
（2）当a=b=c≠0时，y=

1

1+sinx+cosx+sinxcosx

，
令sinx+cosx=t，sinxcosx=

t2-1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴t=sinx+cosx∈[1，

2

]，
而y=

1

1+sinx+cosx+sinxcosx

=

2

(t+1)2

，（t+1）²在[1，

2

]上是增函数，
∴（t+1）²∈[4，3+2

2

]，
∴函数y=f（x）的值域为[6-4

2

，

1

2

]

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，二次函数的性质，以及函数的值域，利用了换元的思想，熟练掌握基本关系是解本题的关键．