题目内容
（2012•平遥县模拟）已知f(x)=
，且函数y=f（x）-2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
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分析：当x≥0时，f（x）=f（x-2），可得当x≥0时，f（x）在[-2，0）重复的周期函数，根据x∈[-2，0）时，y=a-x2-4x=4+a-（x+2）2，对称轴x=-2，顶点（-2，4+a），进而可进行分类求实数a的取值范围．
解答：解：因为当x≥0的时候，f（x）=f（x-2），
当x∈[0，2）时，x-2∈[-2，0），此时f（x）=f（x-2）=a-（x-2）2-4（x-2）
当x∈[2，4）时，x-4∈[-2，0），此时f（x）=f（x-2）=f（x-4）=a-（x-4）2-4（x-4）
依此类推，f（x）在x＜0时为二次函数a-x2-4x=-（x+2）2+a+4，
在x≥0上为周期为2的函数，重复部分为a-x2-4x=-（x+2）2+a+4在区间[-2，0）上的部分．
二次函数a-x2-4x=-（x+2）2+a+4顶点为（-2，a+4），
y=f（x）-2x恰有3个不同的零点，即f（x）与y=2x恰有3个不同的交点，
需满足f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且0≤a+4≤4或f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且a+4＞4
∴-4≤a≤0或a＞0
综上可得a≥-4
故选C
当x∈[0，2）时，x-2∈[-2，0），此时f（x）=f（x-2）=a-（x-2）2-4（x-2）
当x∈[2，4）时，x-4∈[-2，0），此时f（x）=f（x-2）=f（x-4）=a-（x-4）2-4（x-4）
依此类推，f（x）在x＜0时为二次函数a-x2-4x=-（x+2）2+a+4，
在x≥0上为周期为2的函数，重复部分为a-x2-4x=-（x+2）2+a+4在区间[-2，0）上的部分．
二次函数a-x2-4x=-（x+2）2+a+4顶点为（-2，a+4），
y=f（x）-2x恰有3个不同的零点，即f（x）与y=2x恰有3个不同的交点，
需满足f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且0≤a+4≤4或f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且a+4＞4
∴-4≤a≤0或a＞0
综上可得a≥-4
故选C
点评：本题重点考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的周期性，有一定的难度．
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