Question

设双曲线C：与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B，
（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解，
消去y并整理得（1-a²）x²+2a²x-2a²=0， ①
所以，解得，
双曲线的离心率，
∵，
∴，
即离心率e的取值范围是。
（Ⅱ）设，
，
∴，由此得，
由于x₁，x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以，
消去x₂，得，
由a＞0，所以。